主要依据题意构造恰当的函数或建立相应的方程来解决问题，是历来高考的重点和热点。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题，即善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。最后运用二次函数的单调性可判断出；第⑵小题可先建立的函数关系式，再运用均值不等式可求得的最大值。因此，由根的意义或韦达定理构造一元二次方程是最常见的思路，不可忽视。
前面讲了《函数与方程思想深度剖析，明白了，解题犹如神助》，本篇就函数方程思想再做细致探究。
函数与方程的思想基本概念
我们知道函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的练习。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是高考考察重点的7种思想方法的首座。主要依据题意构造恰当的函数或建立相应的方程来解决问题，是历来高考的重点和热点。
（1）函数思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题，即善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
的解就是函数的图像与轴的交点的横坐标（零点）；函数也可以看作二元方程；通过方程进行研究，方程有解，当且仅当属于函数的值域；与的图像的交点问题，就是研究方程的实数解的问题，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。函数与方程的思想在解题中的应用
（1）函数与不等式的相互转化，对函数
，当时，就化为不等式，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式；（2）数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要；
（3）解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论；
（4）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切。
本篇就函数方程不等式三者之间相互转化做深入探究：
例1. 关于
的方程恒有解，求的取值范围．解析：（法一）设
原方程有解即方程有正根，即．解得
（法二）设
①当
；②
.综上可得，
．解题策略：
对于多元方程（含参数）通常有两类办法：
一是换元，将问题转化为二次方程，利用根与系数的关系或判别式，或者利用三角函数的有界性加以解决；
二是分离变量构造函数，把方程有解转化为求函数的值域，再根据函数的图像和性质来解决。
例2．对于满足
的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围．分析：习惯上把
当作自变量，记函数，于是问题转化为： 当时，恒成立，求的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的．解：设函数
，显然，则是的一次函数，要使恒成立，当且仅当，且时，解得的取值范围是．解题策略：
本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于
的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色。例3．设函数
，且存在使得成立（1）若
（2）若直线
的图像交与M,N两点，且M,N两点的连线被直线平分，求出的最大值．分析：对于⑴小题，由题设条件易得
，由方程根的意义可构造一个根为的一元二次方程，再借助韦达定理发现与对称轴的关系。最后运用二次函数的单调性可判断出；第⑵小题可先建立的函数关系式，再运用均值不等式可求得的最大值。解析：⑴由题意
的图像的对称轴为，⑵
．由
，代入直线方程，得
．当且仅当
．解题策略：
若没有方程的思想意识，则不能从
中观察出m,n是某一个一元二次方程的两根，从而也就无法得出这样有用的关系式，使解答陷入困境。因此，由根的意义或韦达定理构造一元二次方程是最常见的思路，不可忽视。通过以上范例，我们清晰的看到函数-方程-不等式他们内在之间拥有这千丝万缕的联系，我们在解题的过程中不可孤立的看待每一个问题，要学会：
1．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解；
2．许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量。
