圆系与对称点公式圆是高中范围内接触最早的二次曲线在高考范围内，做圆相关的解析几何题很少用到联立求解等复杂的代数运算，通常通过数形结合即可解决问题，比如可行域等圆的最值问题，可参考《【代数思维系列】圆的最值问题》由于。
圆是高中范围内接触最早的二次曲线。在高考范围内，做圆相关的解析几何题很少用到联立求解等复杂的代数运算，通常通过数形结合即可解决问题，比如可行域等圆的最值问题，可参考《【代数思维系列】圆的最值问题》。
由于圆具有很多好用的几何性质，接下来我们通过圆的解析几何方法来推导一些关于圆的结论。
曲线系--一个神奇的解析几何工具曲线系（也称：曲线簇、曲线束）是指具有某种共同性质的曲线的集合。比如：
y-1=k(x-2)，表示恒过(2,1)，斜率任意的直线系；
y=2x b，表示斜率为2，截距任意的平行直线系；
(x-1)² (y-2)²=r²，表示圆心为(1,2)，半径任意的同心圆系；
(x-a)² (y-2a)²=a²，表示圆心在y=2x直线上，且与y轴相切的圆系……
等等。
类似椭圆、双曲线、抛物线等也可以写出很多曲线系，都可以运用于解决实际问题。
圆系的运算曲线系运算有多种组合，在这里我们只讨论线性组合。
设圆C1：x² y² D1x E1y F1=0；圆C2：x² y² D2x E2y F2=0
则这两个圆的线性组合为k1C1 k2C2=0，设组合后的曲线为C3。
- 当k1 k2≠0时
显然由于C3的x²项和y²项的系数相等，故C3也是圆（特殊情况下C3只表示一个点，或不存在）
1.如果两个圆有两个交点，A（x1,y1）、B（x2,y2），则
（1）因为A、B两点坐标代入k1C1 k2C2=0，也能使等式成立，故C3同样过A、B两点。
（2）C3圆心在C1和C2圆心的连线上，特别的，当k1=k2时，C3圆心在C1和C2圆心的中点。
2.如果两个圆相切与点A（x1,y1），则
（1）因为A点代入k1C1 k2C2=0，也能使等式成立，故C3同样过A点。
（2）C3圆心在C1和C2圆心的连线上，特别的，当k1=k2时，C3圆心在C1和C2圆心的中点。
（3）因为C1、C2、C3的圆心与点A都在同一条直线上，故C1、C2、C3都相切于点A，特别的，当C3圆心位于A点时，C3仅表示一个点。
3．如果两个圆没有交点，则C3有可能不存在，暂不讨论。如果存在，其圆心也在C1和C2圆心的连线上。
- 当k1 k2=0时
则C3表示一条直线，且C3是圆C1和圆C2的根轴，满足等幂性。
1.当两个圆有两个交点时，C3为两个圆的公共弦所在直线。
2.当两个圆相切时，C3为共两个圆切点的公切线。
3.特别的，因为同心圆没有根轴，显然，当C1和C2为同心圆时，C3也不存在。
利用圆系推导对称点公式圆系应用很多，在此不再祥举。接下来尝试利用圆系的运算推导对称点公式。
我们知道，当圆的方程：(x-a)² (y-b)²=r²中，r=0时，该方程仅表示点（a,b），且当两圆半径相同时，其根轴即为两圆圆心连线的中垂线。利用该性质，则：
①式减②式，即为两点对称轴。
相减后方程为：
显然，上述方程即为Ax By C=0
于是有 ：
这个方程组有两个未知数（x2和y2）和三个方程，该方程组很可能无解。但已知定点关于定直线的对称点一定存在，那么问题出在哪呢？
问题出在：Ax By C=0与Akx Bky Ck=0，表示的是同一条直线，即我们忽略了参数k的存在。于是上述方程组应改写为：
由④、⑤得：
将⑦、⑧代入⑥式，解得：
将⑨式代入⑦、⑧，即有：
文|高见远，转载请注明出处。
